Эталонное моделирование как метод решения нелинейных задач

В настоящей работе исследовано использование метода эталонного моделирования, предназначенного для расчета, анализа и математического моделирования нелинейных физических явлений и технологических процессов. Сформулированы преимущества данного метода и возможность его применения во всём диапазоне основных параметров нелинейной задачи, однотипность расчётной схемы для всех типов задач. Предложенный метод использован для создания моделей конвективной диффузии в неоднородной среде, рассеяния тепловых электронов в поле с центральной симметрией, поведения электропроводности в зависимости от температуры и диэлектрической проницаемости широкозонных полупроводников. Рассмотренная в качестве тестовой задача о расчёте прозрачности потенциального барьера, на который налетает частица, дала неплохой результат (ошибка в пределах 0,8-1,2%). В настоящей работе продемонстрированы основные особенности использования метода эталонного моделирования для решения для решения нелинейных дифференциальных уравнений. Полученные результаты анализа и моделирования позволяют с вполне уверенно оценивать надёжность общих идей метода эталонного моделирования, его расчётной схемы, а также сходимости его разложений, критериев сходства исследуемой системы и выбранной модели. Предложенный в работе метод, с учётом его апробации в различных условиях может служить основой для применения при исследовании нелинейных проблем различной природы, нахождению приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений.

1. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2001. 724 с.

2. Мартинсон Л. К., Малов Ю. И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2002. 368 с.

3. Зельдович Я. Б. Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Физматлит, 1966. 688 с.

4. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

5. Polyanin A. D., Zaitsev V. F., Moussiax A. Handbook of First Order Partial Differential Equations. London: Taylor, Francis, 2002. 520 p.

6. Кунин С. Вычислительная физика. М.: Мир, 1992. 518 с.

7. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988. 304 с.

8. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит. 2002. 320 с.

9. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2001. 724 с.

10. Polyanin A. D., Zaitsev V. F., Moussiax A. Handbook of First Order Partial Differential Equations. London: Taylor, Francis, 2002. 520 p.

11. Чебоксаров А. Б., Игропуло В. С. Эталонная модель нелинейной физической проблемы: создание, анализ особенностей // Физико-математические науки в Ставропольском государственном университете: Материалы научно-методической конференции «Университетская наука – региону». Ставрополь: Изд-во СГУ, 2005. С. 87–90.

12. Игропуло В. С., Чебоксаров А. Б. Уравнение Бюргерса как базовый эталон группы нелинейных моделей // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. Т. 13. Вып. 2. С. 321–327.

13. Чебоксаров А. Б., Игропуло В. С. Типы нелинейных уравнений математической физики и возможности их эталонного моделирования // Физико-математические науки на современном этапе развития СГУ: Материалы научно-методической конференции «Университетская наука – региону». Ставрополь: Изд-во СГУ, 2006. С. 48–50.

14. Дородницын А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка // Успехи математических наук. М., 1952. Т. 7. С. 3–96.

15. Жирнов Н. И. Нормировка и критерий точности квазиклассических решений радиальных уравнений Дирака // Известия вузов СССР. Физика. 1964. Вып. 5. С. 125-130.

16. Жирнов Н.И., Игропуло В.С. О поправках к квазиклассическим фазам рассеяния // Известия вузов СССР. Физика. 1971. Вып. 7. С.149–151.

17. Белокос Е.Д. Общая формула для решений уравнения Sin-Gordon с начальными и граничными условиями // Теоретическая и математическая физика. М., 1995. Т. 103, № 3. С. 358–367.

18. Чебоксаров А. Б., Игропуло В. С. Метод моделирования для решения нелинейного уравнения с дисперсией // Материалы Всероссийской научной конференции «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем». Ставрополь, 2007.

19. Чебоксаров А. Б., Чебоксаров В. А., Казаров Б. А. Исследование процессов массопереноса методом эталонного моделирования // Современная наука и инновации. 2018. № 1 (18). С. 53–58.

20. Чебоксаров А. Б., Чебоксаров В. А., Казаров Б. А. Некоторые способы использования метода разделения переменных для решения дифференциальных уравнений в частных производных // Современная наука и инновации. 2019. № 2 (26). С. 48–59.

21. Чебоксаров А. Б., Москвитин А. А. Низкоэнергетическое рассеяние электронов в силовом поле с центральной симметрией // Современная наука и инновации. 2021. № 3 (35). С. 60–72.